Sistema dinamico nel discreto Non tutti i sistemi che capaci di evolversi neltempo si prestano a essere descritti da un sistema dinamico continuo; prima abbiamoprima usato il termine ‘continuo’ per sottolineare che il parametro t da cuidipendono gli stati è un numero reale ma esistono anche sistemi dinamici discreticioè quelli in cui l’orbita è una successione di stati{Xj}?j=0?W, con W aperto di ?n.

Un sistema dinamico discreto nel tempo rappresentaquindi una relazione tra il valore X(t) della variabile di stato al tempo t e isuoi valori a tempi successivi.La legge che regola un sistema dinamico discreto èin genere di tipo ricorsivo (cioè che si rinnova o si ripete a intervalliregolari) per cui, data un’applicazione vettoriale f:W?W, si definisce ilsistema dinamico richiedendo che sia soddisfatta la relazione Xk+1=ƒ(Xk) per ogni intero k?0.Naturalmente, per determinare univocamente un’orbitaè necessario specificare il valore iniziale X0della successione e una volta che X0è noto, l’esistenza e l’unicità di un’orbita del sistema dinamico discreto sonogarantite dal principio di induzione.L’informazione su un sistema dinamico nel discretosi traduce in equazione che esprimono un legame tra i valori della variabile xin tempi successivi (equazioni alle differenze): Xt+1=ƒ(t, xt) con x0come condizione iniziale   1.4 I sistemilineari Un sistema lineare è detto lineare se tutte e due lesoluzioni delle equazioni di movimento possono essere combinate attraverso unasemplice aggiunta per generare una terza soluzione, date le definizioniappropriate degli zeri delle variabili.

Il sistema delle equazioni può essere estremamentecomplicato rappresentando un gran numero di variabili con tutti i tipi distrutture logiche associate e connesse tra di loro, comprese le complesse retidi relazioni causali tra variabili, ritardi temporali tra causa ed effetto,arbitrariamente complesse e disomogenee nello spaziali.Un modo per riconoscere un sistema dinamico lineare è osservarese le sue equazioni di moto coinvolgono solo funzioni polinomiali di grado 1nelle variabili di sistema; non ci saranno prodotti di diverse variabili disistema o funzioni non banali di qualsiasi variabile individuale (Esempi difunzioni non banali includono quadrati o radici quadrate, le funzioni di sogliache specificano la commutazione discontinua di parametri come le variabili disistema che cambiano, o le quantità che hanno semplici interpretazionigeometriche ma risultano essere complicate funzioni delle variabilifondamentali.) Le sfumature di qualsiasi ordine possono apparire,tuttavia, così come i coefficienti che sono funzioni non banali della posizionee del tempo spaziali. Per tutti i tipi di sistemi lineari, il vincolo che lasomma di due soluzioni deve essere anch’essa una soluzione ha conseguenzeprofonde; in poche parole, la gamma completa di comportamento di un sistemalineare è intesa non appena il suo comportamento in una regione infinitesimaledel suo spazio di stato è compreso.

In assenza di una forza motrice esterna, c’è unasoluzione speciale per tutto il sistema lineare in cui le variabili sono “time dependent” e dove tutto restafermo; questa soluzione è chiamata puntofisso. Un esempio banale è il punto di equilibrio di un pesoappeso ad una molla ideale in un campo gravitazionale perfettamente uniforme; quile variabili di sistema sono la posizione e la velocità del peso, che possonoessere entrambi definiti per essere zero al punto fisso. Quando le variabili sono definite in modo da esserezero nel punto fisso, la linearità implica che ogni soluzione può esseremoltiplicata per un fattore arbitrario per produrre un’altra soluzione. Così le soluzioni con ampiezze arbitrariamente grandi possono esseremoltiplicate per un fattore arbitrariamente piccolo al fine rendere lesoluzioni infinitesimamente vicino al punto fisso, indicandoci così le possibilisoluzioni; la situazione è ulteriormente semplificata dal fatto che lesoluzioni nelle vicinanze del punto fisso possono essere di soli tre tipi:stabile, instabile e marginale.Ø  In unsistema lineare stabile, tutte lesoluzioni asintoticamente approcciano al punto fisso con il passare del tempo.Il caso tipico è che a partire da qualsiasi punto iniziale nello spazio distato, le variabili decadono verso il punto fisso avvicinandosi rapidamente ad unalinea particolare nello spazio dello stato per poi rilassarsi in modoesponenziale lungo quella linea verso l’origine. Ø  In unsistema instabile, tutte lesoluzioni che non si avviano esattamente verso il punto fisso divergono da essoin modo esponenziale nei lunghi periodi. Il caso marginale, in cui le variabili non decadono azero, né divergono, si verifica principalmente in sistemi “Hamiltoniani”, in cui laconservazione dell’energia proibisce la convergenza o la divergenza delletraiettorie spaziali nelle vicinanze.

Ø  La stabilitàmarginale si verifica poi solo comeun caso molto speciale in cui i parametri sono stati accuratamentesintonizzati, anche se ci sono segnali che suggeriscono che la stabilitàmarginale potrebbe riapparire spontaneamente in alcuni sistemi di auto-organizzazionenon lineare.Ci si interessa spesso a sistemi dissipativisottoposti a guida esterna di qualche tipo, sia che si tratti di un inputcostante di energia o di una guida con una più complicata struttura temporale. In tali sistemi, la nozione di punto fisso deve esseregeneralizzata per includere movimenti costanti o regolarmente ripetitivi; peresempio, se il soffitto da cui una molla pesata e smorzata è appesocostantemente oscillando su e giù, il peso non si fermerebbe in un punto fissoma potrebbe continuare con oscillazioni normali per un periodo che corrispondeall’oscillazione del soffitto. Tali traiettorie sono chiamate cicli limite e, come punti fissi, possono essere stabili oinstabili.I punti fissi stabili e i cicli limite sono chiamati attrattori, in quanto le traiettorienello spazio dello stato alla fine scorrono verso di loro e poi restano moltovicine a loro in tempi lunghi.Se cominciamo ad osservare un sistema quando è lontanodal suo attrattore e osservarlo per lungo tempo, saremo in grado di rilevare ilsuo movimento verso l’attrattore per un po’, ma ad un certo punto sarà cosìvicino all’ attrattore che non potremmo più notare la differenza.

La parte della traiettoria su cui possiamo osservareil progresso verso l’attrattore è chiamata transitoria;il set di punti nello spazio di stato che si trovano su transitori associati aun particolare attrattore è chiamato il bacinodi attrazione dell’attrattore.In un sistema lineare stabile, tutti i punti nello spaziodello stato si trovano nello stesso bacino di attrazione; in altre parole, perqualsiasi configurazione iniziale delle variabili di sistema, il destino finaledel sistema è lo stesso punto fisso o ciclo limite.  1.5 Isistemi dinamici non lineari Un modello dinamico si dice non lineare in funzionedella relazione che lega lo stato al tempo t+1 con lo stato al tempo t neldiscreto e la variabile di stato e la sua derivata nel continuo.I sistemi lineari sono spesso studiati in grandedettaglio e possono essere risolti esattamente ed essere usati come buoneapprossimazioni a quelli non lineari in situazioni in cui le traiettorierimangono molto vicine ad un punto fisso o ad un ciclo limite stabile. Essi nonpossono tuttavia catturare molte delle caratteristiche qualitative piùimportanti dei sistemi reali.Tutti i sistemi fisici descrivibili in termini diequazioni classiche di movimento sono non lineari.

In tutti i sistemi reali, le deviazioni di ampiezzaabbastanza grandi richiedono termini non lineari nel modello pertinente e nonesiste una cosa come una molla veramente lineare o un’onda su un fluido cheobbedisca ad un’equazione di movimento perfettamente lineare. Questo è il motivo per cui lo studio della dinamicanon lineare ha una rilevanza così ampia e le conseguenze della non linearitàsono profonde. Cosa molto importante è che i sistemi non linearipossono contenere attrattori multipli, ognuno con il proprio bacino diattrazione cosicché, il destino di un sistema dinamico non lineare, può dipenderedal suo stato iniziale e da tutta una nuova serie di fenomeni che si associanoal modo in cui i bacini di attrazione variano come parametri.La non linearità può anche dare origine ad un tipocompletamente nuovo di attrattore.I cicli di limite nei sistemi non lineari possonoessere abbastanza complicati, girando intorno in una regione limitata di spaziodi stato molte volte prima di chiudersi definitivamente su se stessi.Nei sistemi estesi nello spazio, le non linearitàpossono dare origine alla formazione di modelli che scaturiscono dallacreazione spontanea di attrattori con struttura spaziale non banale in unsistema senza disomogeneità imposte esternamente. In economia, i fenomeni di osservazione non sononecessariamente lineari, cosicché le equazioni differenziali lineari e quelle acoefficienti costanti (a seconda che si tratti il fenomeno nel continuo o neldiscreto) possono non essere lo strumento più adatto per analizzare questiproblemi dinamici; tale premessa non è però sufficiente per dissuadere dall’usodi tali equazioni in quanto esse sono sempre risolvibili, mentre, se ciaddentriamo nel campo delle equazioni differenziali non lineari a coefficientinon costanti, non si ha la certezza di ottenere una soluzione esplicita. Un altro fattore da tenere presente è che mentre lalinearità è unica, le non linearità sono potenzialmente infinite; oltremodo lanon linearità è una condizione necessaria, ma non sufficiente, per conseguiredinamiche complesse.

Una delle caratteristiche inerenti le dinamiche deisistemi complessi è la presenza di fluttuazioni non-periodiche che risultanoessere non-stocastiche (dette anche dinamicheerratiche o dinamiche esotiche),e che scaturiscono da un sistema dinamico deterministico: il cosiddetto “caos deterministico”.La comprensione dei sistemi dinamici non lineari rappresentauno dei problemi scientifici più antichi; tra di essi possiamo annoverare l’osservazionedi incognite ricollegate alla meccanica dei pianeti e di problemi di tipogeometrico.Il più celebre studioso delle dinamiche geometriche è sicuramentestato Henri Poincarè il quale intuìper primo l’importanza dell’osservazione dello spazio in senso strutturalenelle sue fasi intese come traiettorie dinamiche.Le scoperte di Poincarè furono poi approfondite da George David Birkhoff e parzialmentedalle analisi di stabilità di AleksandrMichajlovi? Ljapunov, ma queste idee ebbero un impatto marginale sullostudio delle dinamiche applicate; Poincarè e Birkhoff erano alla ricerca disoluzioni inerenti problemi di meccanica celeste, concentrandosiprevalentemente sui sistemi conservativi Hamiltoniani per i quali vale ilteorema di Liouville in cui la derivata temporale totale di densità di un talesistema è nulla per cui,  gli stati di unsistema, occupano nello spazio delle fasi volumi sempre uguali anche sedistorti in conseguenza delle traiettorie percorse dai singoli punti.

Il caos può definirsi come il comportamentoapparentemente stocastico generato da un sistema dinamico deterministico chesia non lineare intendendo per “apparentemente stocastico” il sentiero casualegenerato da una variabile stocastica.I sistemi dinamici non lineari, relativamente allecause che li indirizzano verso stati caotici, sono caratterizzati dalleseguenti conformazioni: Ø  La variabile xt+1 èun prodotto di xt inquanto gli eventi passati condizionano il presente (sistemi di feedback); Ø  In determinate condizioni emergono punti criticicorrispondenti ai cosiddetti valori di biforcazione dove esiste più di unequilibrio (livelli critici); Ø  Tali sistemi presentano la caratteristica di autosimilarità in quanto la forma iniziale dell’insieme subisce un frazionamentoripetuto nel tempo anche infinite volte, dimensionando le singole forme anche alivello infinitesimale, mentre il confine della figura complessiva, sebbene siacontenuta in una regione limitata dello spazio, tende ad assumere unadimensione infinita (sistema frattale); Ø  Le condizioni iniziali del sistema condizionano profondamentei percorsi evolutivi del sistema stesso in quanto ogni minuscola differenza dallecondizioni di partenza genera sentieri completamente diversi (dipendenza dalle condizioni iniziali).     CAPITOLO 2Il Caos neisistemi dinamici non lineari 2.

1 Sistemidinamici ed equazioni differenziali Un sistemanon lineare è un sistema in cui le equazioni di evoluzionetemporale sono non lineari in quanto le variabili dinamiche che descrivono ilsistema compaiono nell’equazione in forma non lineare.Nei sistemi dinamici, per specificare la posizionedi un punto sul piano cartesiano occorre specificare sia la posizione che laderivata rispetto al tempo t e per questo motivo le equazioni differenzialirivestono un ruolo molto importante nella modellizzazione dei sistemi dinamici,descrivendo di fatto il modo in cui i sistemi mutano in modo continuo nel tempoattraverso cioè la relazione fra una variabile x e la sua derivata x’.  I sistemidinamici sono perciò leggi deterministiche che descrivono, almeno in termininumerici, l’evoluzione di un sistema a partire dal suo stato iniziale1. Come si èdetto, è possibile scrivere l’equazione che rappresenta tale evoluzione tramiteequazioni differenziali, come ad esempio una equazione differenziale ordinaria del primo ordine: La funzione ƒ U??n con U sottoinsiemeaperto di ?n x ? cherappresenta lo spazio di movimento del sistema determinato specificando in ogniistante la sua posizione e la sua derivata; lasuddetta equazione descrive un campo vettoriale per cui una funzione cheassocia ad ogni punto dello spazio un vettore dello stesso spazio. Un campo vettoriale sul piano è rappresentabile visivamenteattraverso una distribuzione nel piano di vettori bidimensionali in modo tale cheil vettore immagine del punto x abbiaorigine in x stesso e in modo analogoè possibile visualizzare campi vettoriali su superfici o nello spazio tridimensionale.Una delle possibili soluzioni alla suddettaequazione è rappresentata da una curva tangente al vettore del campo; se lastessa funzione non dipende dal tempo si dice autonoma e si può scrivere: le cui soluzioni sono funzioni di ?:I?in cui I rappresenta un intervallo di ? tale che ? siacontinuo e differenziabile in I.Se le variabili prese in considerazione sono 2 allora dovremocostruire il seguente sistema di equazioni differenziali: dove F e G sono di classe C1 e in cui unasoluzione x(t), y(t) di tale sistema dovrebbe essere descritta nello spazio (t,x, y); anche tale sistema può essere autonomo rispetto al tempo t  considerando quindi t come un parametro e x(t), y(t) come una coppia di equazioniparametriche di una curva nel piano x, y {? (t)t ?I} che chiameremo equazionecaratteristica, traiettoriaoppure orbita; in esse t determinaun verso di percorrenza ed il vettore (x’,y’) = (F, G) rappresenta ilvettore di velocità lungo che si muove lungo la traiettoria in modo tangente.

Particolare rilevanza rivestono i punti diequilibrio o punti critici o punti singolari: si dice taleuna coppia (x0 , y0) tale che F(x0, y0)= G(x0 , y0)=0; taledenominazione deriva dal fatto che la coppia x(t)? x0  e y (t) ? y0  è soluzione costante del sistema, la cuitraiettoria si riduce al solo punto (x0 , y0).Se sussiste un intorno che non contiene altri punticritici allora il suddetto punto è detto isolato.Oltre ai punti critici, altre traiettorie rilevantisono i cicli, cioè orbite costituite da una curva chiusa scaturenti dasoluzioni periodiche per le quali esiste T> 0.Analizzare un sistema autonomo vuol dire fornirne unquadro generale rispetto alla sua evoluzione in termini di traiettorie; questaoperazione viene denominata ritratto di fase del sistema per cuideterminando gli eventuali punti critici si analizza la loro stabilità oinstabilità e studiando localmente le orbite in un intorno e le equazionidifferenziali delle traiettorie; si individua infine la presenza o meno diorbite chiuse o cicli e i loro comportamenti.Nell’intorno di ogni punto non critico, a talesistema è associata la seguente equazione differenziale, ottenuta eliminando tdalle due equazioni del sistema   conF?0  conG?0 La soluzione coincide, almeno localmente, con quelladelle traiettorie del sistema (chiamate curve integrali); data la nondipendenza rispetto al tempo t, in questeequazioni non si legge più il verso di percorrenza per comprendere l’andamentodella curva ma per poterlo determinare è necessario studiare i segni di F e G, dividendoil piano di fase in aree crescenti e decrescenti per x=x(t) e y=y(t).

In ogni punto in cui F e G non sono contemporaneamentenulle abbiamo allora un punto ordinario oregolare, mentre in ogni punto in cui le due funzioni sonosimultaneamente nulle si dice punto singolare che rappresentano inoltre i cosiddetti stati di quiete, cioè stati in cui il sistema si trova inequilibrio dato che in tale punto si ha per definizione  Unsistema può avere vari punti singolari di tipo diverso e quindi ottenere nelpiano di fase vari domini con diverse proprietà e i cui limiti sonorappresentati da traiettorie asintotiche dette traiettorie separatrici.Taleanalisi qualitativa è fondamentale per poter analizzare i sistemi non lineariche non possono essere integrati o la cui soluzione non può essere esplicitata.  2.2Stabilità nei sistemi dinamici Unodegli aspetti focali nello studiare i sistemi dinamici è comprendere lastabilità del sistema nel caso in cui questo subisca perturbazioni o piccolemodificazioni.Supponendodi considerare un sistema dinamico come rappresentazione di un fenomeno reale,si devono ipotizzare alcuni errori o approssimazione del sistema stesso perpoterne capire il consequenziale comportamento; se il sistema dinamico non risultastrutturalmente stabile gli errori e le approssimazioni fatte nel modellopossono causare mutazioni notevoli nella soluzione reale del problema, mentrese il sistema dinamico in questione è strutturalmente stabile quei piccoli fallidel sistema potrebbero non avere alcuna influenza.Neisistemi economici e finanziari, essendo per loro natura dei sistemi di tipoaperto in quanto l’ambiente esterno causa continuamente delle piccole”turbolenze” che rappresentano a tutti gli effetti degli choc esogeni anche esoprattutto di piccole entità, è importante valutare il comportamento di talesistema dinamico in uno stato stazionario al verificarsi di perturbazionicapaci di modificarne lo stato valutando al tempo stesso le conseguenti fluttuazioniendogene interne al sistema.

Leconseguenze derivate dalle perturbazioni condurranno ai seguenti contesti: A)    Unadebole perturbazione crea nel sistema una modificazione limitata rispetto ad un’orbitache non ha subito sconvolgimento cosicché il sistema potrà definirsi stabilenel senso di Lyapunov e quindi in prossimità del punto di equilibrio x0 le soluzioni chepartono dentro l’attrattore V rimangonoin U per tutta l’evoluzione delsistema. B)    Glieffetti turbolenti tendono a scemare con l’incedere del tempo ed in questo casosi può affermare che il sistema propende a dimenticare le distorsioni esogene ela soluzione del sistema è asintoticamente stabile per cui tutte le soluzioni, avvicinandosi,si “confondono” asintoticamente con essa.Questanozione si applica diffusamente ai sistemi dissipativi. 1 MedioA., Gallo G., (1992), “Chaotic Dynamics, theory and applications to economy”,Cambridge University Press, Cambridge

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